Problema 3 "Triángulo Coronado"

3.- Una ventana en forma de un rectángulo coronado de un triángulo equilátero tiene 5 m de perímetro. Determine las dimensiones de la ventana para que deje pasar la cantidad máxima de luz.

• Antes que nada tenemos que utilizar una imagen que muestre el problema:

• Ahora podemos deducir dos ecuaciones que nos ayuden a resolver el problema:

Perímetro = 2*ancho + largo + 2*lado del triángulo = 5 m
Área total = base*altura + (base*altura)/2

• Entonces con las variables quedaría de este modo:

Perímetro = 2x + 3y = 5 m
Área total = xy + (y (y - y/2))/2 = xy + (y2 – y2/2)/2 = xy + (y2/2 – y2/4)

• Despejando y del Perímetro:

3y = 5 – 2x
y = (5 – 2x)/3

• Lo sustituimos en la fórmula de Área total y hacemos las operaciones:

A = x*((5 – 2x)/3) + ((5 – 2x)/3)2/2 – ((5 – 2x)/3)2/4
A = -1/2 x2 + 5/6 x + 25/24

• Utilizamos el método de máximos y mínimos:

1. Derivamos:

A’ = -x + 5/6

2. Obtenemos la raíz igualando a 0:

-x + 5/6 = 0
x = 5/6 = .83 m

3. Con dos valores cercanos a la raíz (0 y 1), obtenemos si es máximo o mínimo sustituyéndolo en la derivada:

-(0) + 5/6 = 5/6
-(1) + 5/6 = -1/6
Va de un valor positivo a un valor negativo, por lo tanto es MÁXIMO

• Ahora que tenemos el valor de x, podemos obtener y:

y = (5 – 2x)/3
y = (5 – 2(5/6))/3
y = (5 – 10/6)/3
y = (20/6)/3
y = 20/18 = 10/9 = 1.11 m

R= Con eso tenemos que x=.83 m y y=1.11 m, x siendo el ancho y y siendo el largo/dimensiones del triángulo.