Problema 1 "Fabricante de Radios"

1.- Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana, a p pesos cada uno. Siendo 5x = 375 – 3p. El costo de producción es (500 + 15x + 1/5 x2) pesos. Demuestre que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.

• Primero, la fórmula de ganancia es igual Ingreso – Costo de producción:

U = I – CP

• También tenemos dos ecuaciones:

I = xp (Ingreso)
5x = 375 – 3p (Relación instrumentos/pesos)

• Despejando p de la relación instrumentos/pesos para dejar la ecuación en función de x resulta:

3p = 375 – 5x
p = (375 – 5x)/3
p = 125 – 5/3 x

• La nueva ecuación la sustituimos en la función de Ingreso:

I = (125 – 5/3 x)*x
I = 125x – 5/3 x2

• Teniendo las dos ecuaciones que nos dan la ganancia, las sustituimos y realizamos las operaciones:

U = 125x – 5/3 x2 – (500 + 15x + 1/5 x2)
U = -500 + 110x – 28/15 x2

• Utilizando el método de máximos y mínimos:

1. Derivamos:

U’ = 110 – 56/15 x

2. Obtenemos la raíz igualando con 0 (esta raíz serán los instrumentos):

110 – 56/15 x = 0
110 = 56/15 x
110*15 = 56x
1650/56 = x
29.46 = x

3. Tomando dos valores cercanos a la raíz (29 y 31) y sustituyéndolos en la derivada sabremos si es Máximo o Mínimo:

110 – 56/15*(29) = 110 – 108.26 = 1.73
110 – 56/15*(31) = 110 – 115.73 = -5.73
Va de un valor positivo a un valor negativo, por lo tanto es MÁXIMO.

R= Con eso se comprueba que con 29.46 (30) instrumentos por semana, se obtiene la máxima ganancia.