sábado, 10 de abril de 2010

Problema 5 "Depósito rectangular abierto por arriba"

5.- Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener 125 m3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 12 $/m2 y el fondo es de 20 $/m2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo?

Primero se debe realizar un dibujo que ilustre lo que se quiere encontrar con el problema, es decir, las dimensiones. Ahora bien, vemos que con los datos que se tienen, se pueden formular dos ecuaciones:

Volumen= x2y
Costo= $ Caras laterales*(4xy) + $ Fondo*(x2) (no se cuenta la parte de arriba por que es abierta)

Sustituyendo el valor de volumen y despejando y en la ecuación se obtiene:

y = (125 m3)/x2

Sustituyendo los valores de Caras laterales y Fondo en la formula de Costo tenemos:

C= (12 $/m2)*(4xy) + (20 $/m2)*(x2)

Y sustituyendo y en la ecuación de Costo la dejamos en función de x:

C= (12 $/m2)*(4x*(125m3)/x2) + (20 $/m2)*(x2)

Haciendo las operaciones correspondientes:

C= (12 $/m2)*((500m3)/x) + 20x2 $/m2
C= (6000 $m)/x + 20x2 $/m2

Utilizando el método de máximos y mínimos:

Derivamos:

C’= (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2

Obtenemos la raíz igualando a 0 (esa raíz sería el ancho y el largo):

0 = (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2
(6000 $m)/x2 = 40x $/m2
6000 $m = 40x3 $/m2
6000 $m3= 40x3 $
(6000 $m3)/40 $ = x3
150 m3= x3
∛(150 m^3 ) = x3
5.31 m = x

Obteniendo la segunda derivada y sustituyendo la raíz sabremos si es Máximo o Mínimo:

C’’= -(-6000*2x)/(x2)2 + 40
C’’= (12000x)/x4 + 40
C’’= 12000/x3 + 40

12000/5.313 + 40 = 80.14 + 40 = 120.14
Es positivo, por lo tanto es MÍNIMO

Sólo falta obtener lo que vale la altura (y):

y = (125 m3)/ (5.31 m)2 = 125 m3/ 28.19 m2 = 4.43 m

R= las dimensiones para que el costo sea mínimo deben ser x = 5.31 m y y = 4.43 m

4 comentarios: