sábado, 10 de abril de 2010

Problema 6 "Caja con esquinas cortadas"

6.- Se quiere construir una caja rectangular cortando un cuadro de cada esquina de una pieza rectangular de cartón y doblándolos hasta formar la caja deseada. Si las dimensiones de la pieza son 20 cm x 30 cm. Encuentre las dimensiones de la caja más grande que se puede construir.

Primero hay que dibujar algo que ejemplifique el problema:


Con esa imagen se ejemplifica que para obtener el Volumen la ecuación es:

V = (30 – 2x)*(20-2x)*(x)

Desarrollamos la ecuación y nos resulta:

V = (600 – 100x + 4x2)*(x)
V = 600x – 100x2 + 4x3

Utilizamos el método de máximos y mínimos para obtener las raíces:

Derivamos:

V’ = 600 – 200x + 12x2

Igualamos a 0 para obtener las raíces:

12x2 – 200x + 600 = 0
(200±√(40000-28800))/24
(200±√11200)/24
(200±105.83)/24
x1 = 12.7 cm
x2 = 3.92 cm

Por razón lógica, la primera raíz es muy grande para poder ser x, entonces obtenemos la segunda derivada y sustituimos en ella la segunda raíz:

V = 12x2 – 200x + 600
V’ = 24x -200

Entonces

24*(3.92) – 200 = -105.92
Es menor a 0 por lo tanto es MÁXIMO

R= Entonces, las dimensiones quedarían 30 cm – 3.92 cm = 26.07 cm y 20 cm – 3.92 cm = 16.07 cm

6 comentarios:

  1. Hey muchas gracias de verdad me sirvió de mucho su colaboración yo les colaboro xD (Y)

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  2. Mi profe no me explica y esto me ayudó mucho. Gracias por su inteligencia, se la mamaron. Ailoviu su pedorro. Besitos en la cuca.

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  3. demuestre en forma grafica y numérica el área de una circunferencia inscrita en un cuadrado de 20 cm de lado

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  4. cual es el cuadrado tomado como base de la caja de mayor tamaño que se puede recortar ?

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  5. Se construirá una caja sin tapa cortando pequeños cuadrados iguales de las esquinas de una lámina de hojalata de 12 por 12 pulgadas y doblando hacia arriba los lados. ¿Qué tan grandes deben ser los cuadrados que se van a cortar para hacer que la caja tenga la máxima capacidad posible?

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