Problema 2 "Caja de 1200 cm2"

2.- Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada abierta por arriba. Calcula el volumen de la mayor caja que se puede obtener de 1200 cm2 de material.

Primero es necesario hacer una figura que ilustre el problema.

Conociendo las ecuaciones básicas de Área total y Volumen se tiene:

A = ancho * largo + no. caras * base * altura
V = ancho * largo * altura

Utilizando variables para las anteriores ecuaciones y conociendo que la base es cuadrada, tenemos:

A = x2 + 4xy
V = x2y

Sustituyendo el valor de Área total que es lo que tenemos, quedaría así:

1200 = x2 + 4xy

Despejamos y para tener la ecuación en función de x:

1200 – x2 = 4xy
(1200 – x2)/4x = y

Sustituimos y en la función del volumen:

V= x2(1200-x2)/4x
V= (1200x2 – x4)/4x
V= 300x – ¼x3

Utilizamos el método de máximos y mínimos:

Derivamos:

V’= 300 – ¾x2

Obtenemos las raíces igualando a 0:

300 - ¾x2 = 0
300 = ¾x2
1200 = 3x2
400 = x2
√400 = x
x1 = 20 cm
x2 = -20 cm

Tomando +20 (pues no puede haber medidas negativas), obtenemos la segunda derivada y sustituimos para saber si es máximo o mínimo:

V’’ = -6/4 x
V’’ = -3/2 x

Entonces

-3/2*(20) = -30
Es menor a 0 por lo tanto es MÁXIMO

Como ya se sabe el valor de x, ahora se sustituye en y para saber la altura:

y = (1200 – x2)/4x
y = (1200 – 202)/4*20
y = (1200 – 400)/80
y = 800/80
y = 10 cm

Por último se obtiene el volumen:

V= x2y
V= (20)2*(10)
V = 400*10
V = 4000 cm3

R = El volumen de la mayor caja que se puede obtener es de 4000 cm3