Equipo 4 "Integrantes"

Miguel Ángel Moreno Contreras (Diseño del blog, problemas)
Jonathan Bryan Rodríguez León (Solución de problemas)
Araceli (Solución de problemas)

Problema 6 "Caja con esquinas cortadas"

6.- Se quiere construir una caja rectangular cortando un cuadro de cada esquina de una pieza rectangular de cartón y doblándolos hasta formar la caja deseada. Si las dimensiones de la pieza son 20 cm x 30 cm. Encuentre las dimensiones de la caja más grande que se puede construir.

Primero hay que dibujar algo que ejemplifique el problema:

Con esa imagen se ejemplifica que para obtener el Volumen la ecuación es:

V = (30 – 2x)*(20-2x)*(x)

Desarrollamos la ecuación y nos resulta:

V = (600 – 100x + 4x2)*(x)
V = 600x – 100x2 + 4x3

Utilizamos el método de máximos y mínimos para obtener las raíces:

Derivamos:

V’ = 600 – 200x + 12x2

Igualamos a 0 para obtener las raíces:

12x2 – 200x + 600 = 0
(200±√(40000-28800))/24
(200±√11200)/24
(200±105.83)/24
x1 = 12.7 cm
x2 = 3.92 cm

Por razón lógica, la primera raíz es muy grande para poder ser x, entonces obtenemos la segunda derivada y sustituimos en ella la segunda raíz:

V = 12x2 – 200x + 600
V’ = 24x -200

Entonces

24*(3.92) – 200 = -105.92
Es menor a 0 por lo tanto es MÁXIMO

R= Entonces, las dimensiones quedarían 30 cm – 3.92 cm = 26.07 cm y 20 cm – 3.92 cm = 16.07 cm

Problema 5 "Depósito rectangular abierto por arriba"

5.- Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener 125 m3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 12 $/m2 y el fondo es de 20 $/m2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo?

Primero se debe realizar un dibujo que ilustre lo que se quiere encontrar con el problema, es decir, las dimensiones. Ahora bien, vemos que con los datos que se tienen, se pueden formular dos ecuaciones:

Volumen= x2y
Costo= $ Caras laterales*(4xy) + $ Fondo*(x2) (no se cuenta la parte de arriba por que es abierta)

Sustituyendo el valor de volumen y despejando y en la ecuación se obtiene:

y = (125 m3)/x2

Sustituyendo los valores de Caras laterales y Fondo en la formula de Costo tenemos:

C= (12 $/m2)*(4xy) + (20 $/m2)*(x2)

Y sustituyendo y en la ecuación de Costo la dejamos en función de x:

C= (12 $/m2)*(4x*(125m3)/x2) + (20 $/m2)*(x2)

Haciendo las operaciones correspondientes:

C= (12 $/m2)*((500m3)/x) + 20x2 $/m2
C= (6000 $m)/x + 20x2 $/m2

Utilizando el método de máximos y mínimos:

Derivamos:

C’= (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2

Obtenemos la raíz igualando a 0 (esa raíz sería el ancho y el largo):

0 = (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2
(6000 $m)/x2 = 40x $/m2
6000 $m = 40x3 $/m2
6000 $m3= 40x3 $
(6000 $m3)/40 $ = x3
150 m3= x3
∛(150 m^3 ) = x3
5.31 m = x

Obteniendo la segunda derivada y sustituyendo la raíz sabremos si es Máximo o Mínimo:

C’’= -(-6000*2x)/(x2)2 + 40
C’’= (12000x)/x4 + 40
C’’= 12000/x3 + 40

12000/5.313 + 40 = 80.14 + 40 = 120.14
Es positivo, por lo tanto es MÍNIMO

Sólo falta obtener lo que vale la altura (y):

y = (125 m3)/ (5.31 m)2 = 125 m3/ 28.19 m2 = 4.43 m

R= las dimensiones para que el costo sea mínimo deben ser x = 5.31 m y y = 4.43 m

Problema 4 "Fabricante de Radios 2"

4.- Suponga que en el problema anterior "Fabricante de Radios" la relación entre x y p es x = 100 – 20(p/5)1/2 ¿Cuántos instrumentos por semana darán una ganancia máxima?

Primero hay que despejar p:

-20(p/5)1/2 = x – 100
p/5 =(-(x – 100)/20)2
p = 5*(-(x – 100)/20)2

Ahora hay que sustituirlo en la fórmula de Ingreso = xp y desarrollamos:

I = x*(5*(-(x – 100)/20)2))
I = 5x*(-(x – 100)/20)2)
I = 5x*(-1/2 + x/200)2
I = 5x*(1/4 – 1/200 x + 1/40000 x2)
I = 5/4 x – 1/40 x2 + 1/8000 x3

Eso lo sustituimos en la fórmula de Utilidad = Ingreso – Costo de producción y realizamos las operaciones:

U = 5/4 x – 1/40 x2 + 1/8000 x3 - (500 + 15x + 1/5 x2)
U = 1/8000 x3 – 9/40 x2 – 55/4 x – 500

Utilizamos el método de máximos y mínimos para resolverlo:

Derivamos:

U’ = 3/8000 x2 – 9/20 x – 55/4

Obtenemos las raíces:

(9/20±√(81/484-33/1600))/(3/4000)
(9/20±√(28407/193600))/(3/4000)
(.45±.383)/(.00075)
x1 = 1106.66
x2 = 93. 33

Obtenemos la segunda derivada y observamos si la segunda raíz es máxima, pues la primera es muy grande:

U’’ = 3/4000 x– 9/20

Entonces

.00075*(93.33) - .45 = .0699 - .45 = -.380
Como es menor a 0, es un MÁXIMO

R= La máxima ganancia sería con 93 instrumentos por semana

Problema 3 "Triángulo Coronado"

3.- Una ventana en forma de un rectángulo coronado de un triángulo equilátero tiene 5 m de perímetro. Determine las dimensiones de la ventana para que deje pasar la cantidad máxima de luz.

• Antes que nada tenemos que utilizar una imagen que muestre el problema:

• Ahora podemos deducir dos ecuaciones que nos ayuden a resolver el problema:

Perímetro = 2*ancho + largo + 2*lado del triángulo = 5 m
Área total = base*altura + (base*altura)/2

• Entonces con las variables quedaría de este modo:

Perímetro = 2x + 3y = 5 m
Área total = xy + (y (y - y/2))/2 = xy + (y2 – y2/2)/2 = xy + (y2/2 – y2/4)

• Despejando y del Perímetro:

3y = 5 – 2x
y = (5 – 2x)/3

• Lo sustituimos en la fórmula de Área total y hacemos las operaciones:

A = x*((5 – 2x)/3) + ((5 – 2x)/3)2/2 – ((5 – 2x)/3)2/4
A = -1/2 x2 + 5/6 x + 25/24

• Utilizamos el método de máximos y mínimos:

1. Derivamos:

A’ = -x + 5/6

2. Obtenemos la raíz igualando a 0:

-x + 5/6 = 0
x = 5/6 = .83 m

3. Con dos valores cercanos a la raíz (0 y 1), obtenemos si es máximo o mínimo sustituyéndolo en la derivada:

-(0) + 5/6 = 5/6
-(1) + 5/6 = -1/6
Va de un valor positivo a un valor negativo, por lo tanto es MÁXIMO

• Ahora que tenemos el valor de x, podemos obtener y:

y = (5 – 2x)/3
y = (5 – 2(5/6))/3
y = (5 – 10/6)/3
y = (20/6)/3
y = 20/18 = 10/9 = 1.11 m

R= Con eso tenemos que x=.83 m y y=1.11 m, x siendo el ancho y y siendo el largo/dimensiones del triángulo.

Problema 2 "Caja de 1200 cm2"

2.- Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada abierta por arriba. Calcula el volumen de la mayor caja que se puede obtener de 1200 cm2 de material.

Primero es necesario hacer una figura que ilustre el problema.

Conociendo las ecuaciones básicas de Área total y Volumen se tiene:

A = ancho * largo + no. caras * base * altura
V = ancho * largo * altura

Utilizando variables para las anteriores ecuaciones y conociendo que la base es cuadrada, tenemos:

A = x2 + 4xy
V = x2y

Sustituyendo el valor de Área total que es lo que tenemos, quedaría así:

1200 = x2 + 4xy

Despejamos y para tener la ecuación en función de x:

1200 – x2 = 4xy
(1200 – x2)/4x = y

Sustituimos y en la función del volumen:

V= x2(1200-x2)/4x
V= (1200x2 – x4)/4x
V= 300x – ¼x3

Utilizamos el método de máximos y mínimos:

Derivamos:

V’= 300 – ¾x2

Obtenemos las raíces igualando a 0:

300 - ¾x2 = 0
300 = ¾x2
1200 = 3x2
400 = x2
√400 = x
x1 = 20 cm
x2 = -20 cm

Tomando +20 (pues no puede haber medidas negativas), obtenemos la segunda derivada y sustituimos para saber si es máximo o mínimo:

V’’ = -6/4 x
V’’ = -3/2 x

Entonces

-3/2*(20) = -30
Es menor a 0 por lo tanto es MÁXIMO

Como ya se sabe el valor de x, ahora se sustituye en y para saber la altura:

y = (1200 – x2)/4x
y = (1200 – 202)/4*20
y = (1200 – 400)/80
y = 800/80
y = 10 cm

Por último se obtiene el volumen:

V= x2y
V= (20)2*(10)
V = 400*10
V = 4000 cm3

R = El volumen de la mayor caja que se puede obtener es de 4000 cm3

Problema 1 "Fabricante de Radios"

1.- Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana, a p pesos cada uno. Siendo 5x = 375 – 3p. El costo de producción es (500 + 15x + 1/5 x2) pesos. Demuestre que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.

• Primero, la fórmula de ganancia es igual Ingreso – Costo de producción:

U = I – CP

• También tenemos dos ecuaciones:

I = xp (Ingreso)
5x = 375 – 3p (Relación instrumentos/pesos)

• Despejando p de la relación instrumentos/pesos para dejar la ecuación en función de x resulta:

3p = 375 – 5x
p = (375 – 5x)/3
p = 125 – 5/3 x

• La nueva ecuación la sustituimos en la función de Ingreso:

I = (125 – 5/3 x)*x
I = 125x – 5/3 x2

• Teniendo las dos ecuaciones que nos dan la ganancia, las sustituimos y realizamos las operaciones:

U = 125x – 5/3 x2 – (500 + 15x + 1/5 x2)
U = -500 + 110x – 28/15 x2

• Utilizando el método de máximos y mínimos:

1. Derivamos:

U’ = 110 – 56/15 x

2. Obtenemos la raíz igualando con 0 (esta raíz serán los instrumentos):

110 – 56/15 x = 0
110 = 56/15 x
110*15 = 56x
1650/56 = x
29.46 = x

3. Tomando dos valores cercanos a la raíz (29 y 31) y sustituyéndolos en la derivada sabremos si es Máximo o Mínimo:

110 – 56/15*(29) = 110 – 108.26 = 1.73
110 – 56/15*(31) = 110 – 115.73 = -5.73
Va de un valor positivo a un valor negativo, por lo tanto es MÁXIMO.

R= Con eso se comprueba que con 29.46 (30) instrumentos por semana, se obtiene la máxima ganancia.