4.- Suponga que en el problema anterior "Fabricante de Radios" la relación entre x y p es x = 100 – 20(p/5)1/2 ¿Cuántos instrumentos por semana darán una ganancia máxima?
Primero hay que despejar p:
-20(p/5)1/2 = x – 100
p/5 =(-(x – 100)/20)2
p = 5*(-(x – 100)/20)2
Ahora hay que sustituirlo en la fórmula de Ingreso = xp y desarrollamos:
I = x*(5*(-(x – 100)/20)2))
I = 5x*(-(x – 100)/20)2)
I = 5x*(-1/2 + x/200)2
I = 5x*(1/4 – 1/200 x + 1/40000 x2)
I = 5/4 x – 1/40 x2 + 1/8000 x3
Eso lo sustituimos en la fórmula de Utilidad = Ingreso – Costo de producción y realizamos las operaciones:
U = 5/4 x – 1/40 x2 + 1/8000 x3 - (500 + 15x + 1/5 x2)
U = 1/8000 x3 – 9/40 x2 – 55/4 x – 500
Utilizamos el método de máximos y mínimos para resolverlo:
Derivamos:
U’ = 3/8000 x2 – 9/20 x – 55/4
Obtenemos las raíces:
(9/20±√(81/484-33/1600))/(3/4000)
(9/20±√(28407/193600))/(3/4000)
(.45±.383)/(.00075)
x1 = 1106.66
x2 = 93. 33
Obtenemos la segunda derivada y observamos si la segunda raíz es máxima, pues la primera es muy grande:
U’’ = 3/4000 x– 9/20
Entonces
.00075*(93.33) - .45 = .0699 - .45 = -.380
Como es menor a 0, es un MÁXIMO
R= La máxima ganancia sería con 93 instrumentos por semana
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Está mal explicado, algunos resultados son incorrectos, como por ejemplo el cuadrado de 9/20, no es 81/484 es 81/400,y dentro de la raíz no es resta, es suma ya que -4 por otra cantidad negativa obtenemos +; desde ahí se deriva el resultado incorrecto del ejercicio. Antes de esto no se explicó el origen de -1/2 en ésta parte 5x*(-1/2 + x/200)2.
ResponderEliminarLa función del Ingreso debio ser:
ResponderEliminarI=125x-(5/2)x^2+(1/80)x^3
y el resultado es aproximadamente x=24.56